우리가 살고 있는 우주가 다양체라는 수학적 대상으로 이해됨에 비추어, 과연 어떠한 다양체(manifold)가 존재 가능한지에 대한 질문은 오랫동안 끊임없이 이어져 왔다. 더불어 다양체마다 가질 수 있는 기하학적 구조에는 어떠한 것들이 있는지 살펴보고, 이러한 기하학적 구조로부터 다양체를 이해하려는 노력도 함께 계속되어 왔다. 또한 특수한 기하학적 구조는 다양체를 완전히 결정짓기도 하여 많은 사람들이 이러한 기하학적 구조에 더욱 더 관심을 가지게 되었다. 특히 3차원 다양체의 대다수가 쌍곡 기하를 가지게 된다는 Thurston의 놀라운 발견은 3차원 다양체를 이해하는데 획기적인 발전을 가져다주게 된다.

Thurston이 증명한 3차원 쌍곡 다양체 이론에 근본이 되는 여러 가지 정리 중 하나로 쌍곡 덴 채움 정리가 있다. 사실 이 정리가 증명되기 전에는, 지금 알고 있는 것과 반대로, 닫힌 3차원 다양체 중 극히 일부만이 쌍곡 기하를 가질 것으로 여겨졌다. 그러한 추측을 했었던 가장 큰 이유는 쌍곡 기하를 가지는 닫힌 3차원 다양체를 만드는 방법이 거의 전무했기 때문이다.

쌍곡 덴 채움 정리(hyperbolic Dehn filling theorem)를 간략히 소개하면 다음과 같다: 도넛 형태의 3차원 다양체 D는 토러스(torus)를 경계(즉, 표면)로 가지므로, 토러스 경계를 가지는 임의의 3차원 다양체 M과 도넛 다양체 D를 토러스 경계를 따라 붙이면, 붙이는 방법에 따라 무한히 많은 닫힌 3차원 다양체 N을 만들 수 있다. 이렇게 만들어진 N을 덴 채움 다양체라고 부른다. 이 때, 3차원 다양체 M이 쌍곡 기하를 가진다는 사실로부터 대부분의 덴 채움 다양체 N이 쌍곡 기하를 가지게 된다는 것이 바로 쌍곡 덴 채움 정리이다.

토러스 경계를 가지는 3차원 쌍곡 다양체는 닫힌 쌍곡 다양체보다 손쉽게 만들 수 있기 때문에, 쌍곡 덴 채움 정리는 무한히 많은 닫힌 쌍곡 3차원 다양체를 생성하는 중요한 도구로서의 역할을 하게 되는 것이다.

비슷하게 임의의 다양체에 대해서도 덴 채움 다양체를 정의할 수 있지만, 쌍곡 덴 채움 이론은 3차원 다양체에 국한된 것으로 4차원 이상의 경우에는 불가능함을 Garland와 Raghunathan이 증명하였다. 그러므로 4차원 이상에서는 경계가 있는 쌍곡 다양체가 있다 하더라도, 덴 채움이라는 방법으로 무한히 많은 닫힌 쌍곡 다양체를 생성하는 것이 불가능하다.

여기서 주목할 점이 바로, 쌍곡 구조를 자연스럽게 확장한 볼록 실사영 구조를 생각하는 것이다. 즉, 쌍곡 공간을 실사영 공간 안에 있는 공과 같이 볼록한 부분공간으로 이해할 수 있고, 볼록 실사영 구조에서는 공과는 다르지만 여전히 볼록한 여러 가지 부분공간을 다루는 것이다. 그리고 4차원 이상의 쌍곡 기하에서 가능하지 않았던 덴 채움이 볼록 실사영 기하에서 가능한지에 대한 질문을 던지게 된다. 즉, 경계가 있는 4차원 이상의 다양체가 볼록 실사영 구조를 가진다면, 대부분의 덴 채움 다양체들도 볼록 실사영 구조를 가지는가에 대한 답을 찾는 것이 본 연구의 목표이다.

상기와 같이 4차원 이상인 모든 차원에서 볼록 실사영 덴 채움 이론이 참이라면, 이것을 통해 무한히 많은 새로운 닫힌 볼록 실사영 다양체를 생성하는 쾌거를 이룰 수 있다. 또한, 이는 Benoist의 볼록 나눔(convexes divisibles) 이론을 적용할 수 있는 기존에 볼 수 없었던 새로운 대상의 존재성과 사영 일반선형군의 이산부분군, 더 나아가 리 군의 이산부분군 연구에 획기적인 방향을 제시할 것으로 기대된다.

* 기하학적 구조: 다양체의 전체적인 형태만을 고려하는 것이 아닌, 거리를 측정함으로 생각할 수는 구조 (예를 들어, 다양체의 임의의 점에서 근방을 둘러보았을 때 유클리드 공간에 있는 것처럼 거리를 측정할 수 있다면, 다양체는 유클리드 기하를 가진다고 이야기한다.)

* 쌍곡 기하: 유클리드 기하, 구면 기하와 함께 세 가지 고전 기하 중 하나로 분류되는 기하로, 어떤 면에서 구면 기하와 반대되는 특성을 지니는 기하로 이해할 수 있다.

* 닫힌 다양체: 우주는 유한하지만 낭떠러지와 같은 경계가 없다고 생각할 때 자연스럽게 생각할 수 있는 다양체