수학에서 동역학은 특정한 규칙을 따라 변화하는 시스템이 시간이 지남에 따라 점근적으로 어떤 성질을 가지는지 연구하는 학문입니다. 대표적으로 공집합이 아닌 어떤 집합에서 자기 자신으로 가는 사상을 반복하여 적용하였을 때 특정한 원소가 이동하는 궤적의 통계적인 성질을 연구합니다. 또한 시스템에 주어진 측도(measure)의 관점에서 통계적인 성질을 연구하는 동역학의 한 분야를 에르고딕 이론(ergodic theory)이라고 합니다. 예를 들어, 특정한 규칙을 따라 변화가 일어나는 상황 가운데에서도 변하지 않는 측도들을 모두 분류한다면 공간에 대해 더 자세히 이해할 수 있습니다. 에르고딕 이론은 고전적인 통계역학에서 시작하였는데 최근에는 대수적 구조, 리만 다양체 혹은 기하학적 대상들의 모임에서 일어나는 역학적 성질에 대한 연구를 통해 정수론이나 기하학의 문제를 해결하는데 응용하기도 합니다. 

한편 기하학에서 자기 동형군이 추이적으로 작용하는 공간을 균질공간이라고 하며 이는 일반적으로 위상군 G와 그 닫힌 부분군 H의 잉여류 공간 H＼G 로 표현할 수 있습니다. 대표적으로 SL(n,Z)＼SL(n,R)와 같이 선형군의 산술격자 몫 공간으로 나타나는 공간은 n차원 벡터공간 Rn의 유니모듈러 격자(unimodular lattice)들의 공간이기도 하며, 이 공간에서 일어나는 역학적 성질을 이용하여 정수의 다양한 성질을 이해할 수도 있습니다. 예를 들어, 변수가 3개인 실수 계수 이차형식은 몇 가지 기술적인 조건을 만족하면 정수 벡터를 입력한 결과로 나타나는 집합이 실수 안에서 조밀할 것이라는 오펜하임(Oppenheim)의 추측이 마굴리스(Margulis)에 의해 1980년에 증명되었는데 공간 SL(3,Z)＼SL(3,R)에서 SL(2,R)의 작용에 대한 역학적인 성질을 이용하는 것이 그 전략이었습니다. 또한 실수벡터 (x,y)가 공통분모를 갖는 유리수벡터에 의해 어느 정도 잘 근사 될 것이라는 리틀우드(Littlewood)의 추측은 공간 SL(3,Z)＼SL(3,R)에서 (x,y)와 관련된 특정 원소의 대각 작용에 대한 궤도가 유계인지 아닌지 여부와 같습니다. 

여기서 SL(2,R)의 작용에 대한 역학적 성질을 생각해보면 SL(2,R)이 유니포턴트(unipotent) 일변수 부분군들에 의해 생성되기 때문에 공간 내에 가까이 있는 두 원소가 기껏해야 시간이 지남에 따라 다항식의 속도 이하로 멀어진다는 점에서 비교적 경직되어 있다는 것을 관찰할 수 있습니다. 실제로 라트너(Ratner)의 결과에 따라 SL(2,R)의 작용에 대해 변하지 않는 균질공간 내의 모든 측도들을 분류해낼 수 있습니다. 그러나 대각 작용에 대하여는 공간 내에 가까이 있는 두 원소가 지수적으로 빠른 속도로 멀어질 수 있어서 역학적으로 훨씬 복잡하다고 볼 수 있으며 이 경우에는 라트너의 이론을 적용할 수 없습니다. 이러한 어려움에도 불구하고 마굴리스는 여전히 대각 작용에 대해 변하지 않는 공간 SL(3,Z)＼SL(3,R)위의 모든 측도들을 분류해 낼 수 있을 것이라는 추측을 제시하였고, 실제로 아인시들러(Einsiedler)-카톡(Katok)-린덴스트라우스(Lindenstrauss)는 특정한 방향의 작용에 대한 엔트로피(entropy)가 양수가 된다는 가정하에 가능한 측도들을 모두 분류해냈으며 이로부터 리틀우드 추측이 성립하지 않는 실수 벡터들이 극히 드물 것이라는 결과를 도출하였습니다.

하지만 이러한 괄목한 결과에도 불구하고 양의 엔트로피에 대한 가정 없이는 대각 작용에 대한 불변 측도를 분류할 수 있을 것이라는 마굴리스의 초기 추측에 아직 도달하지 못하였습니다. 또한 실수가 아닌 유한체 위의 로랑급수체 위에서는 같은 방법을 통해 접근하였을 때 실수의 경우만큼 불변 측도들에 대한 경직성을 보장하지 못하여 리틀우드 추측에 대한 명제를 도출하기가 어렵습니다. 

본 연구에서는 위 난관을 이겨내고 이산적 모스 이론과 조합기하학 도구를 포함한 새로운 방법으로 함수체 위에서의 리틀우드 추측에 대한 해답을 제시하는데 기여하고자 합니다.

임의의 체 F에 대해 사영 선형군 PGL(n,F)가 F-사영 틀(projective frame)들의 집합에 단순 추이적으로 작용한다는 기본적인 관찰을 이용하면 n이 2보다 큰 경우에도 사형 선형군의 산술격자 부분군에 대한 몫 공간으로 나타나는 공간을 효과적으로 묘사할 수 있습니다. 이로부터 특정한 방향으로의 대각 작용에 대한 횡단면(cross-section)을 건설하고 그 궤도가 횡단면으로 돌아오는 시간의 점근적인 성질을 규명할 수 있습니다. 더 나아가서 대각 작용의 궤도로 나타나는 영역의 전곡률(total curvature)이 만족하는 부등식을 얻을 수 있다면 그 궤도의 형태가 제한적이라는 사실을 증명할 수 있을 것으로 기대합니다.