물체가 움직이는 현상을 관찰하고 이를 수식을 이용하여 나타내는 것은 물리학 및 수학에서 가장 근본적인 문제라고 할 수 있습니다. 일반적으로 우리 일상에서 관찰할 수 있는 물체들의 움직임은, 아이작 뉴턴의 운동 법칙에 기반한 운동방정식을 통해, 물체에 가해지는 힘을 알 수 있으면, 이를 통해 물체의 위치를 정확하게 알아 낼 수 있습니다. 그러나, 과학이 발전하면서 과학자들은 원자나 전자와 같이 매우 작은 입자들이 존재한다는 사실을 알게 되었고, 이러한 굉장히 작은 입자들을 관찰 한 결과, 기존의 뉴턴의 운동방정식으로는 설명할 수 없는 현상들이 나타났습니다.

 이에 따라, 20세기 초에 양자역학(quantum mechanics)이라는 새로운 물리학 이론이 도입되었고, 양자역학에서 가장 기본이 되는 것은 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)이라 불리는 편미분방정식(partial differential equations)입니다. 양자역학에서 물체의 상태는 파동함수(wave function)라 불리는 시간과 공간에 대한 함수로 주어지는데, 이 파동함수가 어떻게 변하는지를 나타내는 방정식이 바로 슈뢰딩거 방정식입니다. 양자역학을 통해, 우리는 매우 작은 입자들의 움직임을 더 잘 이해할 수 있게 되었고, 이에 따라 수학, 물리학 등 기초과학의 발전은 물론, 이를 이용하여 다양한 공학분야에서 기술의 발전을 이룩할 수 있었습니다.

 슈뢰딩거 방정식과 같은 양자 방정식 모델들을 이용하기 위해서는 그 방정식의 해, 즉 파동함수가 어떻게 주어지는지를 알아야 합니다. 그러나 아쉽게도 일반적인 경우에는, 양자 방정식들을 풀게 해 주는 공식은 존재하지 않습니다. 따라서, 우리가 양자 모델들을 이용하여 입자의 움직임을 예측하기 위해서는 방정식을 근사적으로나마 풀어서, 파동함수가 시간이 지남에 따라서 어떻게 변하는지 관찰해야 합니다. 이렇게 알고리즘을 이용하여 컴퓨터를 통해 미분방정식을 근사적으로 해결하는 연구 분야를 과학계산(scientific computing)이라 부르며, 계산에 필요한 방법론에 대해 이론적으로 연구하는 분야를 수치해석(numerical analysis)라고 부릅니다.

 지난 수십년간, 양자 방정식을 수치적으로 풀기위한 많은 방법론들이 제시되었고, 또 이들에 대한 수치해석학적인 연구들이 진행되었습니다. 그러나 전자기장과 상호작용하는 양자 모델들의 경우에는, 전자기장이 존재하지 않는 경우와 비교했을 때, 방법론이 상대적으로 개발이 덜 되어있으며, 모델의 총 에너지와 같은 중요한 물리량의 보존이나, 근사적으로 얻은 수치 해의 수렴성 분석 등 수치해석학 적인 연구들은 미비한 상태입니다.

 본 연구과제에서는 평면 위를 움직이는 입자의 움직임을 기술하는 2차원 양자 모델들, 그 중에서도 특히 입자의 움직임에 영향을 주는 전자기장이 포함된 모델들을 수치적으로 푸는 방법론을 제시하고 그로 부터 얻어지는 수치 해의 수렴성이나 에너지 보존 법칙과 같은 수치해석학적 성질을 얻기 위한 연구를 수행하고자 합니다. 특히, 그 중에서 천-사이먼스 전자기장과 상호작용하는 모델들에 집중하여, 입자의 속도가 빛의 속도에 비해 매우 느린 경우를 다루는 천-사이먼스-슈뢰딩거(Chern-Simons-Schrödinger) 방정식과 입자의 속도가 빛의 속도와 비슷한 경우를 다루는 천-사이먼스-디락(Chern-Simons-Dirac) 방정식의 수치해법을 개발하는 것이 목표입니다. 본 연구를 통해 2차원 양자 모델들에 대하여 이론적인 연구를 통해 안정성과 수렴성이 보장 된 수치해법을 제시하고자 하며, 이를 통해 모델들에 대한 더욱 정확한 수치 시뮬레이션을 얻게 하고, 궁극적으로는 2차원 상에서 일어나는 양자 역학적인 현상들을 규명하는데 기여하고자 합니다.