마르코프(Markov)의 디오판토스 방정식(Diophantine equation)

은 이항이차형식(Binary Quadratic forms)의 산술 최소값을 찾는 과정과 무리수를 유리수로 근사하는 과정에서 나타난 라그랑주 스펙트럼 (Lagrange spectrum)을 기술하기 위해 처음 도입되었습니다. 이후 마르코프 방정식은 수학의 다양한 분야에서 예상치 못한 문맥에서 등장해 왔으며, 특히 복소사영평면(complex projective plane)의 대수/사교기하학과의 연관성이 밝혀지면서 새롭게 주목받고 있습니다.

본 연구는 주어진 파노(Fano) 다양체의 기하학적 정보를 나타내는 일반화된 마르코프 타입 디오판토스 방정식을 탐색하고, 각 방정식 해가 파노 다양체의 대수기하학적 및 사교 기하학적 정보들을 어떻게 담고 있는지 분석하고자 합니다. 특히 각 해에 대응하는 중요한 사교기하학적 대상인 단조 라그랑지안 부분 다양체(monotone Lagrangian submanifold)를 건설하고, 이를 통해 사교 다양체의 중요한 불변량(디스크 포텐셜 함수)을 계산하여 파노 다양체의 양자 주기를 찾으려고 합니다. 아울러 이러한 정보 간의 상관관계를 이해하여 디오판토스 방정식의 해 집합이 갖는 구조적 특성을 규명하고 기술하고자 합니다.

궁극적으로 본 연구는 대수기하학, 사교기하학, 정수론 등 여러 분야에서 공통적으로 등장하는 디오판토스 방정식의 구조를 사교기하학적 방법론으로 분석하고, 이를 이용하여 유리 고렌슈타인 변형 관점에서 파노 다양체의 분류에 기여할 수 있기를 기대합니다. 이러한 현상들 간의 상호작용을 구조화하여 이를 일반화된 클러스터 대수(generalized cluster algebras)로 구현하는 것을 목표로 합니다.

기존의 연구는 사교기하학적 관점에서 마르코프 방정식의 특성 연구는 주로 4차원 기하학에 집중되어 왔습니다. 특히 almost toric fibration 혹은 rational blowdown 수술 같은 저차원 위상수학에서 이해된 방법론을 바탕으로 연구가 진행되었으나, 이를 고차원으로 확장하는 시도는 부족했습니다. 대수기하학적 접근도 복소 2차원의 특이점(T-singularity)에 대한 연구를 중심으로 발전되었으며, 일부 복소 3차원 연구가 이루어졌지만, 고차원 파노 다양체에 대한 확장은 미비한 상황입니다. 본 연구는 대수기하학적 및 사교기하학적 방법론을 결합하여 차원의 제약을 넘는 새로운 연구 방향과 관점을 제시할 수 있을 것을 기대합니다.